12vDC a 15vAC 50Hz 1A

Tengo un módem XAVi X8824r+ que se alimenta con 15vAC 1A desde un adaptador AC de 230v 50Hz 140mA.
Lo quiero alimentar con una batería de gel típica, 12vDC 7Ah.

El problema que tengo es que cuando se corta la luz, me quedo sin Internet.
Si lo conecto al estabilizador, se me corta Internet si sube o baja la tensión.
Si lo conecto a la UPS (no lo intenten en sus casas) también se me corta Internet y el transformador vibra, "camina" y la tensión de salida deja de ser segura.

Quisiera aplicar mis conocimientos de electrónica para hacer "algo" que funcione con el maldito módem, antes de salir a buscar al mercado uno que funcione directamente con 12vDC.
¿Que me sugieren?

Y por que no destripas el modem y vez de mandar continua de tu bateria directo al circuito ?

Si lo destripo me quedo sin internet mientras lo destripo, para zafar pondría otro módem mientras lo destripo, pero para eso ya me habré comprado otro módem.
Además no creo que sea sencillo, por algo dice bien clarito:
"CAUTION Power Rating 15VAC 1A
Do not use any other power adapter except the one that accompanies the unit. Use of other adapter could result in damage to the unit. To prevent electronic shock. Please do not open the cover."

Además quiero una solución magistral para mí y para todos los que se quejan en internet de este módem, proporcionado por Ciudad, que se desconecta a cada rato por problemas de alimentación.

Te veo complicado
A un inversor comun y silvestre de 12VCC a 15VCA le desconfio, supongo que te andara pero si es onda cuadrada los armonicos no desquisiaran todo ?
Y para esto necesitas hacer el transformador, ya que no sera estandar.

Como majistral la solucion seria un UPS solo para el modem con cuasisenoidal y salida 15VCA. (Muy complicado)

El modem, de cuantos $$ estamos hablando, se justifica el desarrollo ?

El modem nuevo sale 75 ARS
Como verás en las 3 fotos el último es el mío, el del medio tiene el mismisísimo adaptador que el mío, y el primero, no se ve en la foto pero, es de 12vCA 800mA

Por lo que parece que es un mal común a todos los módem nuevos.

Como complicado yo pensé conectar la salida de un LM2577-15 a un "Puente H" y zafo del transformador. Lo tuyo no parece taaaan complicado, al menos para mí. Veamos tu idea.

Yo he desarmado algunos router y he visto que estos tienen el rectificador dentro (por eso se alimentan con AC) y ademas tienen un regulador SW con el integrado MC34063 que reduce los aprox. 15VDC a 5VDC pero con alto amperaje (4.5A aprox.).
Te sugiero que uses la bateria de 12V con un regulador de 5V a 4.5A y lo conectes directo al interior del router y ademas le puedes adicionar un circuito que detecte la falta de tension de red y conmute a la bateria, practicamente un miniUPS para tu router.
Suerte y luego nos comentas.