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27/04/2013 #21

Avatar de aguevara

posicion
Mira la siguiente presentacion, ojala te sirva de ayuda, analiza lo que te planteo y veras de la importancia de determinar un origen como te hice mencion en el anterior post.

Saludos

---------- Actualizado después de 3 minutos ----------

Aqui el archivo
27/04/2013 #22
Moderador

Avatar de Nilfred

Pitágoras
Por Pitágoras:

Despejamos el cateto que tienen en común:

Aprovechamos que son iguales, va es el mismo, para sustituir:

Nos queda que, la diferencia del cuadrado de las hipotenusas = la diferencia del cuadrado de los catetos.
Siendo que nuestros datos son, la diferencia las hipotenusas y la suma de los catetos = Constante.

Esto debería dar como resultado una recta o una curva, ya que para h1-h2=0 es una recta vertical en el centro.
Lo cual me da la idea de forzar el valor de c3=0 y sencillamente tengo uno de los puntos de la recta

Por otro lado, sería mucho mas sencillo, si tanto el transmisor como los receptores tienen la hora perfectamente sincronizada; que el transmisor envíe un tren de pulsos informando la hora que transmitió
28/04/2013 #23

Avatar de Sebastian1989

Estuve revisando el sistema de ecuaciones y al parecer si se puede resolver algebraica mente. Lo primero que yo haría es tener los 4 sensores conectados al micro y que este se encargue de ver por cual recibo la señal primero, luego desde ese instante tomaría el tiempo que tarda en recibir las otras tres señales, luego calcularía las distancias asociadas a cada uno de esos tiempos (d1, d2, d3), quedando algo parecido a lo que pongo en la primera imagen adjunta. En la imagen aparece d? esta variable es la menor distancia entre el emisor y uno de los receptores (en base a la recepción de esta señal se tomarían los tiempos para los otros tres receptores).

Ahora solo queda plantear las ecuaciones de la altura de cada uno de los triángulos, para eso solo hay que usar pitagoras y algo de imaginación, de esta forma se llegara a la ecuación de la segunda imagen adjunta, aplicándola para calcular el eje Y se obtiene el sistema de ecuaciones que aparece adjunto en la tercera imagen, ahora solo hay que hacer lo mismo para el eje X y resolver ambos sistemas.


Ahora me debo ir a trabajar por lo que tal vez en unas horas mas pueda poner las ecuaciones finales para las coordenadas X e Y.

PD: ¿como muestro las imágenes adjuntas dentro del texto???
Imágenes Adjuntas
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Tipo de Archivo: jpg ec.jpg (22,4 KB (Kilobytes), 12 visitas)
28/04/2013 #24

Avatar de chclau

Hola,

Para mi en la formula de la figura 2, la del segundo triangulo, hay un error. O me equivoco yo. Pero segun lo hice, no me da para despejar h de una forma simple.

Hay dos triangulos rectangulos, uno con base llamemoslo f, y otro con base c-f. Cuando despejas de las dos formulas te queda un termino (c-f)^2, por lo que aparece un termino en f. Y "f" es la raiz cuadrada de la diferencia de a-h. Asi que no pude despejar h de forma simple.
28/04/2013 #25

Avatar de Sebastian1989

En la imagen adjunta pongo algunos pasos de como calcule la altura.
Imágenes Adjuntas
Tipo de Archivo: jpg Sin título2 - copia.jpg (33,7 KB (Kilobytes), 13 visitas)
28/04/2013 #26

Avatar de Eduardo

Sebastian1989 dijo: Ver Mensaje
En la imagen adjunta pongo algunos pasos de como calcule la altura.
Eso está bien.
¿Pero como seguís? Porque hasta ahí no conocés ni a ni b, solamente b-a.
28/04/2013 #27

Avatar de chclau

Si, la formula esta bien y yo me equivoque. Me parece que teniendo un tiempo de referencia exacto de la transmision se saben las distancias correctas y con eso queda resuelto el problema.

Si no se tiene el tiempo de la transmision... me parece que volvemos a tener una ecuacion con dos incognitas al cuadrado que no se puede resolver.
28/04/2013 #28

Avatar de Eduardo

chclau dijo: Ver Mensaje
... Me parece que teniendo un tiempo de referencia exacto de la transmision se saben las distancias correctas y con eso queda resuelto el problema.
Si señor y de esa forma serían suficiente dos sensores.
Aunque si el emisor está cerca de la línea que une los sensores el error en 'y' es grande y conviene un 3er sensor (o correr los receptores )

Si no se tiene el tiempo de la transmision... me parece que volvemos a tener una ecuacion con dos incognitas al cuadrado que no se puede resolver.
El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos es constante son hipérbolas.
Que implica esto? Que si no se conoce el instante de emisión hacen falta por lo menos 3 sensores y la solución consiste en hallar el punto de intersección de dos hipérbolas.
El "inconveniente" es que eso desemboca en una ecuación de 4to grado, si bien admite solución exacta, es engorrosa de aplicar.
Pero, disponiendo los sensores de una manera particular puede esquivarse resolver la ecuación cuártica.



Entonces, aprovechemos para tirar un problemita matemático



- El origen está puesto arbitrariamente en el centro del rectágulo.
- Los sensores están colocados a mitad de cada lado del rectángulo.
- La frecuencia del reloj es 343kHz ==> cada pulso corresponde a una distancia de 1mm.
- Los únicos datos son L1=1800mm. L2=1000mm , Nac,Nbc y Ndc (la diferencia de conteo entre cada sensor y 'c' , que fué el que recibió el 1er pulso.

* Obviamente, todas las demás longitudes que están en el dibujo se desconocen, las dejé a modo de control.
* También, si bien Nac,Nbc y Ndc son en realidad enteros, los dejé con decimales para que en los cálculos afecte menos el truncamiento.
Imágenes Adjuntas
Tipo de Archivo: png Cuadri1800.png (53,4 KB (Kilobytes), 78 visitas)
28/04/2013 #29
Moderador

Avatar de Nilfred

Sebastian1989 dijo: Ver Mensaje
¿como muestro las imágenes adjuntas dentro del texto???
Podes apretar el clip, al lado de la carita feliz. Previsualizar y copiar el enlace de la miniatura, para pegarlo como url en la montaña con el solcito
Ojo que al previsualizar muchas veces, las etiquetas IMG se convierten en etiquetas URL y la imagen no se ve.

Para la fórmulas mejor usa el Latex, que es el último icono de sumatoria. Podes valerte de algún editor online y pegar acá.
Lo bueno es que al quotear te deja editar la fórmula posteada por otro.

Me parece que le falta un término al trinomio cuadrado perfecto:

O factorizaste y sustituiste en el mismo paso y me perdí
28/04/2013 #30

Avatar de asherar

Eduardo dijo: Ver Mensaje
... aprovechemos para tirar un problemita matemático



- El origen está puesto arbitrariamente en el centro del rectágulo.
- Los sensores están colocados a mitad de cada lado del rectángulo.
- La frecuencia del reloj es 343kHz ==> cada pulso corresponde a una distancia de 1mm.
- Los únicos datos son L1=1800mm. L2=1000mm , Nac,Nbc y Ndc (la diferencia de conteo entre cada sensor y 'c' , que fué el que recibió el 1er pulso.

* Obviamente, todas las demás longitudes que están en el dibujo se desconocen, las dejé a modo de control.
* También, si bien Nac,Nbc y Ndc son en realidad enteros, los dejé con decimales para que en los cálculos afecte menos el truncamiento.
Conociendo también el número de pulsos Nc, llego a que:

x = 0.5* (Ndc*Ndc - Nbc*Nbc) / L1

y = 0.5* (Nac*Nac - Nc*Nc) / L2

que evaluados en los datos me da el resultado correcto.
28/04/2013 #31

Avatar de Eduardo

asherar dijo: Ver Mensaje
Conociendo también el número de pulsos Nc, llego a que:
x = 0.5* (Ndc*Ndc - Nbc*Nbc) / L1
y = 0.5* (Nac*Nac - Nc*Nc) / L2
que evaluados en los datos me da el resultado correcto.
Si estás usando la misma notación:
x = 0.5* (Ndc*Ndc - Nbc*Nbc) / L1 = 109.627... distinto de 221.236

En cuanto a la coordenada y, no podés usar el tiempo absoluto Nc porque su 0 no guarda ninguna relación con el instante de emisión del pulso.

Tus únicos datos útiles son las diferencias de tiempos.

Esto se resuelve con solo dos:
Nac : La diferencia entre la cuenta de Na y Nc
Ndb : La diferencia entre la cuenta de Nd y Nb

(y por supuesto las longitudes de los lados del rectángulo )
28/04/2013 #32

Avatar de asherar

Eduardo dijo: Ver Mensaje
Si estás usando la misma notación:
x = 0.5* (Ndc*Ndc - Nbc*Nbc) / L1 = 109.627... distinto de 221.236
Claro, mi notación difiere porque tomé el dato TC = 457.007 de la gráfica y lo sumé a los Nxc tuyos.
En realidad tomé cantidad de pulsos totales en lugar de diferencia. Sorry!

Yo planteo que se verifican las relaciones:

1) (L1/2 + x)^2 + y^2 = (Ndc + TC)^2
2) (L1/2 - x)^2 + y^2 = (Nbc + TC)^2
3) (L2/2 + y)^2 + x^2 = (Nac + TC)^2
4) (L2/2 - y)^2 + x^2 = TC^2

Desarrollando cuadrados y restando la (2) de la (1) obtengo la expresión de x que usé:

x = 0.5* [(Ndc + TC)*(Ndc + TC) - (Nbc + TC)*(Nbc + TC) ] / L1

Haciendo lo mismo con la (3) y (4) llego a la expresión de y.

y = 0.5* [(Nac + TC)*(Nac + TC) - TC*TC ] / L2

pero no pude eliminar TC del desarrollo.
28/04/2013 #33

Avatar de Eduardo

asherar dijo: Ver Mensaje
Nones! Controlá tu cuenta porque me da bien.
Ver figura del cálculo hecho con Matlab.
Nones! Leé de vuelta.

Vos estás usando las distancias entre el emisor y los sensores, que son desconocidas pues no se sabe en que instante se largó el pulso.
Lo único que se conoce es la diferencia de las distancias.

Los datos que Nac,Nbc y Ndc que pongo son justamente esas diferencias y vos en el cálculo de Matlab usás las distancias absolutas.
28/04/2013 #34

Avatar de asherar

Sipes! ya lo controlé y edité el post anterior.

Está bueno como ejercicio y además se puede aplicar a algún tipo de sonda acústica por tiempo de vuelo.
Pero eliminar TC de las cuentas es medio largo y aburrido ...
29/04/2013 #35
Moderador

Avatar de Nilfred

Nilfred dijo: Ver Mensaje


Como el término 2ab, para el trinomio cuadrado perfecto, no lo tengo: me lo invento manteniendo la igualdad

Sigue sin ser perfecto Los cuadrados no pueden ser negativos. La idea era que me quede:

Pero no es lo mismo:

Se puede reordenar para que sea todo positivo pero me alejo:

A lo que quiero llegar es una ecuación parecida a la hipérbola:
29/04/2013 #36

Avatar de Sebastian1989

Después de trabajar bastante el sistema de ecuaciones llegue a una odiosa ecuación de cuarto grado (Eduardo la vio venir mucho antes que yo ) por lo que me puse a buscar sus raíces hasta que leí esto: http://www.josechu.com/ecuaciones_po...olucion_es.htm
Una ves que me di cuenta del tamaño de las ecuaciones súbitamente se me quitaron las ganas de seguir, sinceramente solo las usaría si mis sensores estuvieran conectados a un PC.

Nilfred, gracias por las instrucciones para adjuntar las fotos, por cierto no me sorprende que se te haya perdido un termino en la ecuación, ya que expandí el binomio al cuadrado, sustituí X y simplifique en un solo paso.

Eduardo, como se supone que se hace ese problema????, trate de resolverlo como alturas de triángulos y también como intersección de circunferencias pero siempre llego a una ecuación de cuarto grado.
29/04/2013 #37
Moderador

Avatar de Chico3001

Bueno.. y el autor original ya nunca regreso?? xDDD
29/04/2013 #38
Moderador

Avatar de Nilfred



¿La proyección de los lados del triángulo ayuda en algo?

Me quedó y=f(h1) nada mal, ya se pueden dibujar esas curvas
Edito: Error. Ilusión óptica, mejor me voy a dormir...
Imágenes Adjuntas
Tipo de Archivo: png doppler.png (7,0 KB (Kilobytes), 53 visitas)
30/04/2013 #39

Avatar de chclau

Este tema que estamos hablando en definitiva esta emparentado con dos temas tecnologicos de actualidad: TDOA y GPS.

Trate de leer algunos articulos sobre el tema pero reconozco que me resultan dificil por el uso extenso de calculos matriciales.

Pense que el problema no tenia solucion por ecuaciones porque vi que muchos de los algoritmos usan aproximaciones como la de Newton Gauss. Quiza sea porque estan generalizados a sistemas de 3D, y que ademas deben enfrentarse con fuentes de interferencia que nosotros no sufrimos para la pregunta del rectangulo (delay en la ionosfera, movimiento relativo de las sensores y el dispositivo cuya posicion queremos medir, que tiene componentes no solo de velocidad sino tambien de aceleracion y hasta variaciones de aceleracion).

En definitiva y como ya dije hice una solucion en Matlab segun la idea de Nilfred de usar tablas con valores precalculados. Funcionar, funciona pero se requiere una tabla enorme para conseguir una resolucion respetable.

Todavia no he conseguido implementar la solucio de Newton Gauss, si consigo hacer esa o alguna otra lo publico.
30/04/2013 #40

Avatar de Eduardo

Sebastian1989 dijo: Ver Mensaje
...
Eduardo, como se supone que se hace ese problema????, trate de resolverlo como alturas de triángulos y también como intersección de circunferencias pero siempre llego a una ecuación de cuarto grado.
Hay varias formas. Pero ojo al piojo, ninguna es una bonita fórmula de una sola línea.

1- Usando 3 sensores en posiciones arbitrarias.
Económica en sensores pero hay resolver una ecuación de 4to grado. Nada del otro mundo pero es quizás la de mayor esfuerzo de cómputo "por detrás". Ya que si usaras las fórmulas del link, tenés situaciones donde a pesar que el resultado sea real, tenés que trabajar con números complejos pues aparece una raíz cuadrada de un número negativo.

2- Usando 4 sensores "en cruz" como propuse.
En esa disposición se evita lo anterior, solamente hay que sacar unas raíces cuadradas.
Sale trabajando las fórmulas que pusiste.

3- Usando 4 o más sensores en posiciones arbitrarias y planteando un sistema de ecuaciones como propuso Alejandro.
Para 4 sensores en cruz, computacionamente "pesa" casi lo mismo que el anterior (y no hay que sacar raíces cuadradas ), pero tiene el inconveniente que si el emisor está cerca del centro queda un sistema casi singular y hay tomar precauciones para evitar los errores numéricos.
Es más apropiado para 4 o más sensores en posiciones arbitrarias con la precaución que no exista ningún punto equidistante de todos los sensores.
Incluso con 5 o más sensores puede extenderse a 3 dimensiones.


Ahora no tengo tiempo, pero esta noche escribo las soluciones para estos dos últimos casos.
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