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17/06/2012 #1

Avatar de danyshaday

Transformadas de Laplace: circuito RLC
Señores tengo este problema donde he resuelto una parte pero no se si esta bien (numeral a y b)

CIRCUITO RLC

Los circuitos RLC (Resistencia-Inductor-Capacitor) representan sistemas de segundo orden, puesto que contienen dos elementos que almacenan energía como lo son el capacitor y el inductor. El circuito a analizar en esta ocasión es un RLC serie como se observa a continuación:

La corriente que circula por un capacitor está definida como:
i_c=C dv/dt [1]
La tensión que cae sobre una bobina o inductor está definida como:
v_L=L di/dt [2]

Al aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) por sus siglas en inglés, la cual se basa en la conservación de la energía, se obtiene la siguiente ecuación:
v_in=Ri(t)+L di/dt+V_out [3]

Donde Vout es el voltaje que cae sobre el capacitor y Vin es la tensión de entrada. Para los ejercicios considere como condiciones iniciales iC (0)=0 y vL (0)=0. Con las ecuaciones anteriores resuelva las siguientes preguntas:

A) Halle una expresión para la función de transferencia del sistema vout/vin en términos de R, L y C.

Tomando la ecuación v_in=Ri(t)+L di/dt+V_out se tiene que saber la impedancia de cada uno de los elementos de circuito, sabiendo que:
ZR = R ZC = 1/sC ZL = sL
Donde s es un numero complejo, s = jω, de esta forma la impedancia del circuito es

Z_n=R+1/sC+sL=(s^2 LC+RsC+1)/sC

Asi queda un circuito equivalente de la forma en frecuencia

Ahora si se toma la ecuación [1] y se le aplica la transformada de Laplace queda de la forma

V_in (s)=Ri(s)+sLi(s)+1/sC i(s)

Donde 1/sC i(s)=V_out (s), factorizando:

V_in (s)=1/sC i(s)[Ri(s)⁄(1/sC i(s) )+sLi(s)⁄(1/sC i(s) )+(1/sC i(s))⁄(1/sC i(s) )]

V_in (s)=1/sC i(s)[sRC+s^2 LC+1]=V_out (s)[sRC+s^2 LC+1]

De tal forma que se puede despejar Vout/Vin

H(s)=(V_out (s))/(V_in (s) )=1/(s^2 LC+sRC+1)

B) La función de transferencia de un sistema de segundo orden de lazo cerrado se puede ver como:

(K〖ω_n〗^2)/(s^2+2ζω_n s+〖ω_n〗^2 )
Donde K es una ganancia del sistema, ζ es el factor de amortiguamiento y ωn representa la frecuencia natural. Halle una expresión para ζ y ωn en términos de los parámetros R, L y C.

Para hallar ζ y ωn se iguala a la expresión anterior:

(K〖ω_n〗^2)/(s^2+2ζω_n s+〖ω_n〗^2 )=1/(s^2 LC+sRC+1)
Utilizando un programa de cálculo se puede encontrar que:

ζ=(Ks^2 〖ω_n〗^2 LC+Ks〖ω_n〗^2 RC+K〖ω_n〗^2-s^2-〖ω_n〗^2)/(2sω_n )

C) Asuma valores de C=1 nF y L=2 mH. La tensión de entrada Vin=15u(t). Determine un valor de resistencia en el cual se obtenga una respuesta críticamente amortiguada. Compruebe su resultado con la herramienta de simulación.


D) Dejando los parámetros L y C fijos halle un valor de resistencia para el cual se obtenga un sobrepico entre el 5% y el 5.2%. Compruebe su resultado con la herramienta de simulación.


E) Observe en la herramienta de simulación que al hacer combinaciones de R, L y C se pueden obtener tres casos de respuesta: sobreamortiguado cuando ζ>1, críticamente amortiguado cuando ζ=1 y subamortiguado cuando 0 < ζ < 1.
¿Qué relación existe entre el tiempo de levantamiento y el sobrepico máximo, en caso de que éste último exista?
Observe que el sistema es mucho más rápido, mientras mayor sea el sobrepico. Esto lo puede deducir mirando el tiempo de establecimiento o de asentamiento. A priori para muchos sistemas es importante que se tenga una velocidad de respuesta rápida. Ahora bien, ¿Qué desventajas pueden presentarse al tener un sobrepico muy grande en un sistema determinado?
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