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06/06/2010 #161

Avatar de asherar

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Eduardo dijo: Ver Mensaje
Y ya que estamos , tiro un ejercicio relacionado a modo de entretenimiento.
Expresar cos(12°) por medio de una cantidad finita de funciones elementales.
... con sumas/productos/raices entre números enteros --> Prohibido usar otras funciones trigonométricas .
cos (12º) = cos (72º - 60º) = cos(72º) cos(60º) + sen(72º) sen( 60º)

y como:

cos(60º) = Sq(3)/2
cos(72º) = [Sq(5)-1]/4
sen(60º) = 1/2
sen(72º) = Sq{ [ 5 + Sq(5) ] /8 }

queda:

cos (12º) = [ Sq(5) - 1] Sq(3) / 8 + Sq{ [ 5 + Sq(5) ] / 8 } / 2
06/06/2010 #162

Avatar de Eduardo

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Alejandro Sherar dijo: Ver Mensaje
...cos (12º) = [ Sq(5) - 1] Sq(3) / 8 + Sq{ [ 5 + Sq(5) ] / 8 } / 2
Good! Acá va otro levantando un poquito la mira (sorry por aquellos que asocian este de problemas con el estudio ):

Todos estos valores de ángulo que pueden expresarse de manera exacta y finita por medio de sumas,productos y raices tienen la propiedad de ser ceros de un tipo de polinomios (de los que tienen apellido ).
- De que polinomios estoy hablando y por qué ?



PD. Incluso el coseno de cualquier ángulo racional en grados también es cero de esos polinomios, solamente que no a todos se los puede expresar de la manera anterior.
06/06/2010 #163

Avatar de asherar

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Esa está más difícil. Mientras lo pensamos, y para mechar un poco con el arte de los versos les dejo un poema, tomado del Portal Matematico y dedicado a todos los que les apasiona el arte de andar pasando términos de un miembro a otro:

EL ALGEBRISTA

Algebrista te volviste
refinado hasta la esencia
oligarca de la ciencia
matemático bacán.

Hoy mirás a los que sudan
en las otras disciplinas
como dama a pobres minas
que laburan por el pan.

¿Te acordás que en otros tiempos
sin mayores pretensiones
mendigabas soluciones
a una mísera ecuación?

Hoy la vas de riguroso
revisás los postulados
y junás por todos lados
la más vil definición.

Pero no engrupís a nadie
y es inútil que te embales
con anillos, con ideales
y con álgebras de Boole.

Todos saben que hace poco
resolviste hasta matrices
y rastreabas las raíces
con el método de Sturm.

Pero puede que algún día
con las vueltas de la vida
tanta cáscara aburrida
te llegue a cansar al fin.

Y añores tal vez el día
que sin álgebras abstractas
y con dos cifras exactas
te sentías tan feliz.


Letra de Enzo R. Gentile y música del tango "Mano a mano" (Gardel - Razzano)
06/06/2010 #164

Avatar de Nepper

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Eduardo dijo:
Y ya que estamos , tiro un ejercicio relacionado a modo de entretenimiento.
Expresar cos(12°) por medio de una cantidad finita de funciones elementales.
... con sumas/productos/raices entre números enteros --> Prohibido usar otras funciones trigonométricas .
cos (12º) = cos (72º - 60º) = cos(72º) cos(60º) + sen(72º) sen( 60º)

y como:

cos(60º) = Sq(3)/2
cos(72º) = [Sq(5)-1]/4
sen(60º) = 1/2
sen(72º) = Sq{ [ 5 + Sq(5) ] /8 }

queda:

cos (12º) = [ Sq(5) - 1] Sq(3) / 8 + Sq{ [ 5 + Sq(5) ] / 8 } / 2
Es bunenísimo ese concepto.... nunca se me había ocurrido...

Alejandro Sherar dijo:
¿Te acordás que en otros tiempos
sin mayores pretensiones
mendigabas soluciones
a una mísera ecuación?

Hoy la vas de riguroso
revisás los postulados
y junás por todos lados
la más vil definición.
No puedo evitar sentirme identificado
07/06/2010 #165

Avatar de asherar

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
El apellido no lo he descubierto aún, aunque seguramente Euler debe haber metido la cola por ahí.
Lo que he observado es que 360º dividido por un entero pequeño, sólo da un número de grados entero en los casos:

360º/2 = 180º,
360º/3 = 120º,
360º/4 = 90º,
360º/5 = 72º,
360º/6 = 60º,
360º/8 = 45º,
360º/10 = 36º,
360º/12 = 30º,
360º/15 = 24º,
360º/18 = 20º,
360º/20 = 18º,
360º/24 = 15º,
360º/30 = 12º,
360º/36 = 10º,
360º/45 = 8º,
360º/60 = 6º,
360º/72 = 5º,
360º/90 = 4º,
360º/120 = 3º,
360º/180 = 2º.

Esto me recuerda a los numeros primos. No sé por qué.

Para estos valores es posible hacer algo parecido a lo que hicimos con 72º-60º=12º porque usando:

cos(A + B) = cos(A) cos(B) - sen(A) sen(B)

y sus fórmulas "amigas": sen(A + B), cos(A - B) y sen(A - B), se puede ir armando:

cos(2 A) = cos(A + A) = cos(A) cos(A) - sen(A) sen(A)
cos(3 A) = cos(A + 2A) = cos(A) cos(2A) - sen(A) sen(2A)
...
cos((N-1) A) = cos((N-2)A + A)

hasta llegar a: cos(N A) = cos((N-1)A + A)

Para N grandes se complica bastante, pero al final se debe reducir todo a unos pocos factores.

Supongo que la familia de polinomios se debe definir aprovechando estas construcciones y algún teorema oportuno.
07/06/2010 #166

Avatar de Eduardo

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Alejandro Sherar dijo: Ver Mensaje
...Lo que he observado es que 360º dividido por un entero pequeño, sólo da un número de grados entero en los casos:
....
Esto me recuerda a los numeros primos. No sé por qué.
Yo tampoco.
Desde el momento que 360 = 2·2·2·3·3·5 , cualquier numero que sea producto de algunos de sus factores es divisor de 360.
Para estos valores es posible hacer algo parecido a lo que hicimos con 72º-60º=12º
No para todos, solamente para los ángulos múltiplos de 3
Supongo que la familia de polinomios se debe definir aprovechando estas construcciones y algún teorema oportuno.
Mnnn... para la definición se podría pero es más elegante de otra forma.
07/06/2010 #167

Avatar de asherar

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Pensándolo bien, que un ángulo tenga nro. entero de grados no tiene nada de particular.
07/06/2010 #168

Avatar de Eduardo

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
No, la particularidad es que el ángulo sea una relación racional del período (m/n con m y n enteros), pero como esto arrancó con ejemplos en grados enteros lo seguí así.

Con esa ampliación, los ángulos que cuyos cosenos se pueden expresar algebraicamente son ang = 3°*k/2^n con k y n enteros ( o (pi/60)*k/2^n en radianes) y sus cosenos siguen siendo ceros de los susodichos polinomios .
07/06/2010 #169
Excluido


Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Alejandro Sherar dijo: Ver Mensaje

¿Te acordás que en otros tiempos
sin mayores pretensiones
mendigabas soluciones
a una mísera ecuación?

Hoy la vas de riguroso
revisás los postulados
y junás por todos lados
la más vil definición.
hay un tema........quizas les disguste mi vision.
a mi me encantaba .. ? ..no se ... lo manejaba.
y otras cosas.
descubrir las cosas es lindo , genial, entender , cuando sentis que subiste uno o variso escalones.
pero....... a vecs uno no suelta el hueso por que es cabezon.
es dificil, si uno estuvo 10 años o mas royendo el mismo hueso aceptar que fue en vano.
hay muchos que terminan de maestros por no asumir que no les sirvio de nada (no le dieron la utilidad que amerita el dedicarle una vida) .
uno se afina, es seguro, de tanto jugar con lo mismo , sean integrales o simples sumas .

yo........yo me quede con una definicion que escuche por ahi :
el bicho que mas facil se adapta es el que sobrevive.

ahi largue de a poco lo que estuve masticando de joven y empece a morder otros huesos .

ojo......esa maldita educacion ....aun me tira, (me falta terapia) , veo una datasheet de un PIC u me parece inmenso las posibilidades, veo ecuaciones que no me acuerdo y pienso:
si con la capacidad de deducir y resolver que tengo hoy dia me refrescase en ecuaciones, matematicas y demas ......que no podria hacer ????? .
pero conozco el camino y se la respuesta .
y de a poco como una onda amortiguada cada vez los empujones internos son mas suaves.

y yo mas tranquilo
09/06/2010 #170

Avatar de asherar

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
fernando, es solo un entretenimiento
Lo que pasa que a veces uno sin darse cuenta se pasa de largo, y sigue trabajando mientras se divierte.
Algo parecido a tu vocación frustrada (toco-ginecología), pero al revés ...

Dicho esto, ahora vamos a intentar atacar el problema que planteó Eduardo:


Premisas:
------------

1.- X debe ser la raíz de un polinomio, por lo tanto:

a_N X^N + a_(N-1) X^(N-1) + a_(N-2) X^(N-2) + ... + a_2 X^2 + a_1 X + a_0 = 0

o en forma abreviada:

Suma[a_n X^n] = 0, n=0,1,2,...N


2.- X es el coseno de un ángulo:

X = cos(Y)


Lo que se debe demostrar es que Y = 3º k/2^n, con k y n enteros.
Además X está formada por expresiones que incluyen cocientes de enteros y raíces,
del tipo:

X = p^(1/m)/q^(1/n), m,n,p,q enteros



Razonamiento:
-------------------

Reemplazando X en el polinomio inicial se obtiene:

Suma{n=0,1,2,...N, a_n [cos(Y)]^n} = 0

Como el coseno es una función par del ángulo: cos(Y) = cos(-Y), si escribimos el cos(Y)
en serie de Taylor en torno a Y=0, obtenemos un desarrollo donde aparecerán sólo las
potencias pares del ángulo Y:

cos(Y) = Suma(m=0,1,2, ... infinito, b_m Y^2m)

y donde:

b_m = (-1)^m/2m!

reemplazando esta expresión de cos(Y) en el polinomio se obtiene:

Suma{ n=0,1,2,...N, a_n [Suma(m=0,1,2, ... infinito, b_m Y^2m)]^n } = 0

De aquí en más se debe trabajar sobre esta expresión, que es una suma infinita elevada a la n-ésima potencia y sumada N veces !!! (ver acá), para llegar a algo del tipo:

Suma{k=0,1,2, ... infinito, C_k Z^2k} = 0

con C_k = (-1)^k/2k!

que no es otra cosa que cos(Z)=0. De esta igualdad sale la condición para los ángulos, y
de las relaciones necesarias para los coeficientes C_K, surge la condición sobre los
coeficientes a_n del polinomio inicial.

(sigue ... otro día que ande con más tiempo ... )
09/06/2010 #171

Avatar de GomezF

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
F*** (Se me escapo), creo, con suerte, que entendí el 60% de todo lo anterior. Vi formulas y leyes que no conocía (algunas no me las acordaba XD).

Un saludo.
09/06/2010 #172

Avatar de Eduardo

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Ale, estabas mas encaminado antes que ahora. Descomponiendo el coseno en su serie te vas a enloquecer.

Hago una corrección y de paso tiro unas pistas para que esto no se haga tan largo.

Cuando escribí que cualquier racional en grados (es lo mismo que cualquier división racional del arco de círculo) eran ceros de polinomios con apellido me equivoqué, son ceros sólo la mitad (si es que se puede hablar de mitad en un conjunto infinito, voto a Cantor).
En cambio, todos verifican ser unos. Es decir, para cada uno de estos ángulos existe un polinomio de XXXXXX tal que Pn(x) = 1


La pista esta en ver la expansión de cos(n·x) y las propiedades de cos(x/2)
10/06/2010 #173

Avatar de asherar

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Eduardo dijo: Ver Mensaje
... me equivoqué ...
Vamos mejorando !

Ya no me siento tan solo ...


Eduardo dijo: Ver Mensaje
... existe un polinomio de XXXXXX tal que ...
Serán los polinomios pornográficos ?
10/06/2010 #174

Avatar de Eduardo

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Vamos mejorando !
Yo diría estamos empeorando
Ya no me siento tan solo ...
Ni yo, gracias al Prozac!




Para matizar con un problema corto, cuando la vez pasada pusiste esa sucesión sacada de la sección "Juegos Matemáticos" (Martin Gardner (RIP) idolo!) me acordé de este otro:

- Un número irracional elevado a otro número irracional... Es siempre irracional? (Demostrar)

Para dar algunas pistas voy a empezar diciendo la solución: No, el resultado puede ser racional.
Pero falta la demostración... Y para demostrarlo basta un ejemplo, es decir dos números a y irracionales tales que a^b sea racional.
Y ahí viene lo curioso, el ejemplo publicado dá dos ejemplos donde uno es el verdadero, pero no se sabe cuál .
10/06/2010 #175
Excluido


Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
POLI nomio
xxxxxxxx

eso me suena a orgia.

pongan fotos !!!!!!!!!!!
15/06/2010 #176

Avatar de Meliklos

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
mmm.... aver, ya que estamos con cosas matematicas tiro algo para los que se acuerdan de las sucesiones....primer año de universidad, o ultimos de secundaria

capaz qUE lo sacan...no es muy dificil darse cuenta... jeje

como sigue ésta sucesion??? (van a tener que dibujar o explicar....)
Imágenes Adjuntas
Tipo de Archivo: bmp Dibujo.bmp (96,8 KB (Kilobytes), 24 visitas)
15/06/2010 #177

Avatar de freed

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
uhhhh!!!!!!!!! YO SE!! YO SE!!!

ese nos lo dijo nuestro profe de analisis...jaja es buenisimo!
pero si nadie lo saca hay lo mando...

mientras dejo un acertirijillo (diria Flanders jaja )
a ver!!!

"Una señora dejo olvidado en casa el permiso de conducir, no se detuvo en un paso a nivel, despreción una señal de dirección prohibida y viajó tres bloques en dirección contraria por una calle de sentido único. Todo fue observado por un policia de tránsito, quien, sin embargo, no hizo el menor intento para impedirselo. ¿Por qué?"
15/06/2010 #178


Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Será que fue a pie la Sra??
Saludos
15/06/2010 #179
Moderador general

Avatar de DOSMETROS

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Meliklos dijo: Ver Mensaje
mmm.... aver, ya que estamos con cosas matematicas tiro algo para los que se acuerdan de las sucesiones....primer año de universidad, o ultimos de secundaria

capaz q lo sacan...no es muy dificil darse cuenta... jeje

como sigue ésta sucesion??? (van a tener que dibujar o explicar....)
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freed dijo: Ver Mensaje
uhhhh!!!!!!!!! YO SE!! YO SE!!!

ese nos lo dijo nuestro profe de analisis...jaja es buenisimo!
pero si nadie lo saca hay lo mando...

mientras dejo un acertirijillo (diria Flanders jaja )
a ver!!!

"Una señora dejo olvidado en casa el permiso de conducir, no se detuvo en un paso a nivel, despreción una señal de dirección prohibida y viajó tres bloques en dirección contraria por una calle de sentido único. Todo fue observado por un policia de tránsito, quien, sin embargo, no hizo el menor intento para impedirselo. ¿Por qué?"

Fue a pie o se subió al tren . . .
15/06/2010 #180
Moderador general

Avatar de Cacho

Respuesta: Acertijos de lógica y comprensión
Meliklos dijo: Ver Mensaje
como sigue ésta sucesion???
No sé... Mejor me voy a pasear en mi Maserati



A buen entendedor...


Saludos
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