¿Cómo graficar correctamente el lugar de las raíces de una planta?

[dchico3]

Buenas tardes a todos,

Recurro a ustedes porque no encuentro explicación al lugar de las raíces de la planta G(s) = 1/s^2. Sé que en lazo abierto es inestable y el lazo cerrado, con re alimentación unitaria los polos se encuentran en +/- j lo que lo hace un sistema oscilante.

Ahora bien, mi propósito es encontrar un controlador para estabilizar el sistema, solo eso, sin busca de un sobrepico o tiempo de establecimiento específico. Para resolver el problema, hice lo siguiente

1) Dibujar los polos en lazo abierto de G(s) en el plano complejo. Por supuesto, es un polo doble en 0, hasta ahí no hay lío.
2) Agregué un cero en -2. Esto, con el fin de que los polos se sientan atraídos hacia el polo y queden en el semiplano izquierdo del plano complejo. Hasta ahí, todo bien, con lo anterior el gráfico es el siguiente y mi nueva G(s) = (s+2)/s^2

-> imagen pzmap.jpg

La línea roja muestra donde (creo) está el lugar de las raíces ya que se encuentra a la izquierda de un numero impar de polos y/o ceros

3) Dado que hay n = 2 (polos) y m =1 (ceros) existe una asíntota que lleva un polo hacia un cero infinito
4) Aplicando la fórmula correspondiente encuentro que el angulo es 180° y el centroide está ubicado en 2
5) No hay ángulos de entrada o salida debido a que no hay polos y/o ceros con parte imaginaria

Por lo cual, en mi opinión, uno de los polos va hacia el cero y el otro sigue el camino pero "muere" en el infinito.

Al hacer la gráfica en Matlab con el siguiente código, la respuesta obtenida es esta

num = [1 2];
den = [1 0 0];
G = tf(num,den)
rlocus(G)

-> imagen rlocus.jpg

Mi pregunta es ¿por qué? Teniendo en cuenta las reglas no encuentro la razón de este gráfico principalmente porque, según las reglas, el rango desde -infinito hasta -2 no es un lugar de las raíces. Frente a la duda, escribí el siguiente código en Matlab que no hace más que variar la ganancia sin necesidad del rlocus para ver la respuesta del sistema.

clear,clc
for K = 0:0.1:15
    num = [K 2*K];
    den = [1 K 2*K];
    r = roots(den);
    plot(real(r),imag(r),'x')
    hold on
end

Al ejecutarlo, la respuesta es la misma que la entregada por rlocus (como era de esperarse

-> imagen algrlocus.jpg

Reitero mi pregunta, ¿por qué ese círculo, es este un caso especial del lugar de las raíces?

Muchas gracias de antemano a todos por tomarse el tiempo de leer y responder

 

[juanma2468]

No te olvides que en cero hay un polo doble, lo cual genera una asíntota en cero, haciendo que estos polos deban moveerce hacia un cero cada uno, por eso es que el lugar de raices toma esa forma circular, uno de los polos termina yendo a hacia -2 y el otro hacia inf. Es común ese tipo de gráficas de lugar de raices, pero lo que has analizado es totalmente correcto, saludos.

 

[dchico3]

Vale, para este caso, como encuentro el lugar donde pasa por eje imaginario o ¿es simplemente una asíntota? Es decir, no toca el eje imaginario?

 

[juanma2468]

Precisamente la asintota se encuentra en cero, sobre el eje imaginario, desde -inf hasta +inf. Eso ocaciona que los polos se alejen del cero y se ven atraidos por los ceros, uno en -2 y el otro en inf. El efecto que ocurre del lugar de raices es el de esa circunferencia que forman los polos, que se mueven con una parte real y otra imaginaria hasta chocar con el eje real en -4. Uno de los polos se va hacia el inf atraido por el cero en inf y el otro polo se mueve hacia el -2 atraido por el cero en -2.

 

[dchico3]

Justo como lo sospechaba...una última pregunta, de dónde saco el punto máximo de la circunferencia, aclaro, en qué punto debo empezar a bajar para que tome forma circular?
En mi opinión habría que tomar varios puntos de prueba y comprobar que cumpla con el ángulo = 180°

 

[juanma2468]

Pues no recuerdo bien la forma, pero creo que habia que utilizar un K, donde el K es una ganancia variable. Asignandole diferentes valores, se obtienen distintos puntos en que se encuentran los polos, de esa forma obtenes una idea del grafico. Para sacar el radio de la circunferencia no lo recuerdo, tendria que revisar mis viejos apuntes. Eso puedes sacarlo de casi cualquier libro de teoria de redes con seguridad.