Explicación muy sencilla:
Ese transistor está configurado como interruptor. Cuando la saida del 555 está en nivel bajo (0V) no fluye intensidad por R1 y por lo tanto la base del Transistor permanece inactiva permaneciendo este, en estado de corte. En este estado la intensidad de coletor es 0 permaneciendo apagado el relé.
Cuando la salida del 555 está en vivel alto (Vcc) fluye intensidad por R1 excitando a la base del Transistor y este entra en estado de saturación. En este estado el colector si deja pasar intensidad por el relé activándose. La Intensidad de colector (Ic) tiene que ser como mínimo la intensidad que consuma el relé esto biene dado por el balor de R1.
Te aconsejo que mires información al respecto para entender un poco mejor todo esto. Son formulas sencillas.
Y por último, el diodo en contra polarización, se coloca para eliminar tensiones iductivas inversas producidas en la conexión - desconexión del relé evitando que el transistor sufra deterioros.
Espero haberte ayudado.
Saludos.