he simplificado aun mas el circuito, después de publicar el otro circuito me di cuenta que se podian eliminar algunos componentes.
aqui esta el nuevo diagrama
como ven es muy simple, la pocicion normal del pulsador es abierta, por tanto el transistor NPN Q3 esta saturado por tanto absorve toda la corriente que R2 entrega al condensador, manteniendo el voltaje del condensador muy bajo. Cuando el pulsador de presiona, la base de Q3 queda conectada a tierra por tanto la corriente de base es cero y entra en estado de corte por tanto la corriente de R2 empieza a cargar C1, una vez C1 alcanza 1,4V (debido a la configuración darlington de los transistores Q2 yQ1) el par darlington empezara a conducir y activara la carga que en este caso es un LED, vosotros ponedle hay un rele o lo que necesiten, solo asegurence de no pasar la corriente máxima de Q1.
el tiempo depende de la malla RC formada por R2 y C1, por tanto sus valores determinan el punto en el tiempo que se activa la salida, no tengo las ecuaciones a mano, pero con un poco de información de la carga de condensadores pueden calcular los componentes exactos.
por cierto, coloquen una resistencia de unos 10 ohm en el transistor de descarga (Q3) para evitar el pulso de corriente que existirá cuando el botón se levante. ( entre el colector de Q3 y el condensador).
ademas deben considerar que si el botón no se presiona hasta que se active la salida, esta no se activara. creo que me enrede... pero espero lo hayan entendido...
