si tienes una fuente de 24, podrías hacer un divisor de voltaje con dos resistencias de igual valor, esto te daría, 24v en un extremo, 12v al centro, y 0 al otro extremo, dejas un extremo conectado al punto central, 12v, y en el otro podrías conectar un relé activado por el arduino, que en su terminal nc tenga los 24 y en la no los 0.
Estarías tomando el voltaje 12, como referencia 0v, al completar el circuito con nc tendrías +12, al completar con no, tendrías -12.
Dato importante, para activar un relé con un arduino hace falta utilizar un transistor, no estoy seguro si un 2n222 te valga, o si requiera un tip12, y de usar el tip 12 también hay que revisar si la corriente suministrada por el arduino lo acciona, si no el 2n222 vendría de cajón.
Aunque realmente el puente H debería hacer el truco sin problema, recuerdo haberlo usado en actuadores lineales de 12 v, de esos que usan los seguros de los autos.
Nota importante, el divisor de voltaje limitaría tu corriente, así que si decides utilizarlo, hay que asegurarse de que las resistencias te entreguen la corriente que necesitas.
Nota importante 2, me parece que los modulos de puente h para arduino tienen voltaje limitado, hasta donde recuerdo, a 12v, de cualquier manera puedes verificarlo en la data o en algun sitio web, quizá por ahí va el que no te haya funcionado
