Como obtener la función de transferencia de un filtro sencillo pasa altas?

[Dakira]

Realmente no se como obtener la función de transferencia a partir de un circuito RC o filtro pasa altas.
Aquí tengo el circuito. Lo que se es que H(S)= Y(S)/X(S), donde Y(S) es la función de salida y X(S) es la de entrada.
Que primero debo obtener x(t) y y(t), en los cuales se quiere encontrar el voltaje en el capacitor y en la resistencia, por medio de análisis de circuitos eléctricos y las leyes de kirchoff. Después usar la transformada de Laplace, aunque realmente no se para que. Luego, usar la transformada inversa.
También, tengo que la función de salida w2(t) es el voltaje Vr y pues este se obtiene de R*i(t), pero con la función de entrada w1(t), no tengo idea.

Y les pido, por favor, que si me podrían ayudar explicándome los pasos para resolverlo. Yo se que es como algo sencillo, pero es que soy una novata con esto.

El problema pide esto: Dado el filtro mostrado en la figura, determine la función de transferencia de este filtro. Los datos son:
-Capacitor: 0.05microF
-Resistencia1: 1.5Kohms
-Resistencia2:180 ohms

 

[juan_g]

Hola, qué tal? Es la primera vez que brindo una respuesta, así que espero no hacelro tan mal... cualquier cosa consultame.

Primero un poco de introducción simple teórica:
La transformada de Laplace no es más que un método que simplifica la resolución del problema sin tener que recurrir a pasos bastante complejos de hacer en papel (resolución de ecuación en derivadas parciales). Lo que trata de hacer la transformación es que lo que sea que haya que calcular siga siendo lineal, que no aparezca ninguna derivada por ningún lado, en lo posible, o, de aparecer, que sea bastante simple.
Ahora bien, ¿qué es una función transferencia?
La función transferencia es una función propia del sistema, que NO depende de la entrada aplicada.
La salida sí, es una "convolución" de la entrada y dicha función, pero eso es tema para más adelante.

Ahora bien, después de esta breve introducción (y si pasé algo por alto y querés más explicación yo o alguien del foro más capacitado te la puede brindar, preguntá que no hay drama), vamos a ver este caso en particular:

Para calcular la función transferencia mediante Laplace, se consideran SIEMPRE condiciones iniciales nulas, esto significa: Capacitores descargados e inductancias con corriente inicial=0
Teniendo en cuenta eso, se procede a reemplazar los componentes pasivos (en este caso resistencias y el capacitor) por su equivalente en Laplace cuando las condiciones iniciales son nulas.
Esto sería de la siguiente forma:
La resistencia queda igual, con el mismo valor, pero el capacitor pasa a valer: 1/CS
Donde C sería en este caso 0.05uF y S es la variable en el dominio de Laplace (así como t=tiempo es la variable en el espacio temporal).
Siguiendo con este razonamiento, nos queda un circuito lineal, donde sólo queda resolver un divisor de tensión.

En primer lugar yo resolvería el paralelo entre C y R de 1.5K :

R * 1/(C*S) / (R + 1/(C*S) )

Si lo desarrollás vas a ver que llegás a algo así:

(R / (C*S)) / (R*C*S + 1) / C*S

R / (RCS+1)

Reemplazando los valores:
1.5K / (1.5K*0.05u*S)
1.5K / (75u*S)

Realizando la división de tensión entre esta impedancia equivalente y la R de 180ohms:

W2(S) = W1(S) * 180 / (180+ 1.5K/(75u*S) )
W2(S) / W1(S) = H(S) = 180*75u*S / (180*75u*S+ 1.5K )
H(S) = (180*75u/1.5K) * [ S / ( (180*75u/1.5K)*S +1) ]
H(S) = 9u * [S/(9u*S+1)]

Vale aclarar que en el modelo de Laplace las fuentes no cambian, o sea, lo único que cambia es que la variable es S en lugar de t. Y que H(S) es la función transferencia.
Luego, lo que tendrías que hacer, es, dada una entrada determinada x(t), transformar a Laplace la entrada: X(S) y multiplicar: X(S)*H(S), lo que da por resultado Y(S) (la transformada de laplace de la salida que se obtendrá con dicha entrada). Luego antitransformar Y(S) para obtener y(t) (respuesta temporal).
No sé si fui claro 100%, espero que sí... cualquier cosa consultá...

NOTA: pude haberme equivocado en algo del desarrollo, lo importante es que se entiendan los conceptos al menos.

 

[Dakira]

Oh, no creí que fuera tan sencillo jaja. Yo me estaba metiendo con la corriente y ecuaciones diferenciales, es por eso que estaba confundida.Te lo agradezco muchísimo y si me aclaraste muchas dudas.

 

[juan_g]

De nada, me alegro de haber podido ayudar.
Cualquier cosa consultá que siempre hay alguien con predisposición por acá, es lo bueno de este foro, siempre me han ayudado, así que me alegra haber podido ser útil al menos una vez jaja.
Un abrazo