Es que justamente debe anexar datos adicionales a los que ya dió, para discriminar dónde pueda estar el problema.
Yo entiendo perfectamente lo que pueda estar pasando, dado que con el valor de potenciómetro de 10 K o te queda pista al vicio (con lo que se pierde precisión en el ajuste de voltaje, por aprovechar solo una muy pequeña fracción de la pista) o te queda rango bajo el cual el regulador no cumple su función como tal (como regulador, ya que no se garantiza un dropout mínimo de 2,45 V para que este mismo regule).
Para el trafo que dispone, el pote debería ser de no más de 2 K y, para obtener regulados unos 7,68 VCC debería estar ajustado entre los 1119 ohmios y los 1361 ohmios aprox., para valores extremos esperables de Vreg del regulador y una tolerancia del 5 % en la resistencia de 240 ohmios.
Por otro lado, si conectó la lámpara directamente a la salida del transformador (siendo este de 12 VCA y previendo que no lo conectaría a los 15,67 VCC después de rectificados y filtrados, ya que podría dañar la misma lámpara por algo de sobrevoltaje) y comentó que enciende correctamente, es probable que el problema no sea falta de corriente (aunque con 500 mA en el trafo no representen necesariamente 500 mA a la salida del regulador, ya que normalmente por la propia conversión de la rectificación y de los tiempos de conducción de los diodos del puente es probable que no pueda sacar mucho más de la mitad o menos incluso => asimismo, se debe verificar).
Es más, ni siquiera el fabricante del LM317 sugiere valores tan altos de potenciómetro para ese valor de R1 de 240 ohmios. Te sugiero buscar y leer el datasheet.
