Buenas tengo un sistema con una G(s) = [N(s)/D(s)] . exp(-s.Tau) , es decir que tiene un retardo. Me piden hacer el lugar de raices en función del parámetro Tau pero no se como sacarlo como factor multiplicativo. Si alguien conoce la técnica por favor si me la puede explicar un poco.
No se puede sacar T como factor multiplicativo,
lo que si se puede y es lo que se termina haciendo
mientras el retardo sea bajo es
una aproximacion de exp(-s.Tau) por una funcion racional.
En principio tenes 3 aproximaciones utiles:
exp(-s.Tau) ~ 1 - s·Tau ; valida hasta s·Tau ~ 0.2
exp(-s.Tau) ~ 1/(1+ s·Tau) ; valida hasta s·Tau ~ 0.2
exp(-s.Tau) ~ (2 - s·Tau)/(2 + s·Tau) ; valida hasta s·Tau ~ 0.9
Las primeras son mas limitadas pero dan expresiones mas sencillas, segun cuanto de alto/bajo sea el rango del retardo convendra una u otra.
Reemplazando exp(-s.Tau) por cualquiera de las tres aproximaciones y reacomodando vas a llegar a una expresion en el denominador 1+B(s)·Tau
De ahi sigue un problema tipico de lugar de las raices donde B(s) es la
nueva funcion de transferencia a lazo abierto y Tau la ganancia.
1-sT --> B(s) = - G·s/(1+G)
1/(1+sT) --> B(s) = s/(1+G)
(2 - s·Tau)/(2 + s·Tau) --> B(s) = (1-G)/(1+G) · s/2
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La aproximacion de una funcion por una funcion racional se conoce como aproximacion de Pade.
Se pueden tener mejores aproximaciones de exp(x) usando polinomioos de grado mayor, por ejemplo:
exp(-x) ~ (12-6x+x^2)/(12+6x+x^2)
El
problema va a estar en que en el denominador
no te va a quedar 1+B·T sino 1+B·T+C·T^2 y no te van a servir los metodos de dibujo clasicos (ni el software)
