lugar de raices en funcion del retardo

#1
Buenas tengo un sistema con una G(s) = [N(s)/D(s)] . exp(-s.Tau) , es decir que tiene un retardo. Me piden hacer el lugar de raices en función del parámetro Tau pero no se como sacarlo como factor multiplicativo. Si alguien conoce la técnica por favor si me la puede explicar un poco. Gracias

PD: este tema es de la materia Control de ingeniería electronica, no se si corresponde que pregunte esto aca.
 
#3
Buenas tengo un sistema con una G(s) = [N(s)/D(s)] . exp(-s.Tau) , es decir que tiene un retardo. Me piden hacer el lugar de raices en función del parámetro Tau pero no se como sacarlo como factor multiplicativo. Si alguien conoce la técnica por favor si me la puede explicar un poco.
No se puede sacar T como factor multiplicativo, lo que si se puede y es lo que se termina haciendo mientras el retardo sea bajo es una aproximacion de exp(-s.Tau) por una funcion racional.

En principio tenes 3 aproximaciones utiles:
exp(-s.Tau) ~ 1 - s·Tau ; valida hasta s·Tau ~ 0.2
exp(-s.Tau) ~ 1/(1+ s·Tau) ; valida hasta s·Tau ~ 0.2
exp(-s.Tau) ~ (2 - s·Tau)/(2 + s·Tau) ; valida hasta s·Tau ~ 0.9

Las primeras son mas limitadas pero dan expresiones mas sencillas, segun cuanto de alto/bajo sea el rango del retardo convendra una u otra.

Reemplazando exp(-s.Tau) por cualquiera de las tres aproximaciones y reacomodando vas a llegar a una expresion en el denominador 1+B(s)·Tau

De ahi sigue un problema tipico de lugar de las raices donde B(s) es la nueva funcion de transferencia a lazo abierto y Tau la ganancia.

1-sT --> B(s) = - G·s/(1+G)
1/(1+sT) --> B(s) = s/(1+G)
(2 - s·Tau)/(2 + s·Tau) --> B(s) = (1-G)/(1+G) · s/2


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La aproximacion de una funcion por una funcion racional se conoce como aproximacion de Pade.
Se pueden tener mejores aproximaciones de exp(x) usando polinomioos de grado mayor, por ejemplo: exp(-x) ~ (12-6x+x^2)/(12+6x+x^2)

El problema va a estar en que en el denominador no te va a quedar 1+B·T sino 1+B·T+C·T^2 y no te van a servir los metodos de dibujo clasicos (ni el software) :cry:
 
#4
Ya conocía esas aproximaciones para el retardo. De todos modos todavía no me doy cuenta como obtengo esa B(s) que decís vos. Yo necesito a Tau como factor multiplicativo.

La ecuacion caracteristica con el retardo aproximado es :

(1-s.Tau) [ N(s) / D(s) ] + 1 = 0

yo quiero poder aplicar los métodos conocidos de lugar de raices. Gracias.
 
#5
...Yo necesito a Tau como factor multiplicativo.
La ecuacion caracteristica con el retardo aproximado es :
(1-s.Tau) [ N(s) / D(s) ] + 1 = 0
yo quiero poder aplicar los métodos conocidos de lugar de raices. Gracias.
:confused: La clave se llama usar el algebra

(1-s.Tau)[N(s)/D(s)] + 1 = N/D - N/D s.Tau + 1 = (1+N/D)·[ 1 - s·Tau·N/(N+D) ] = 0

--> La ecuacion caracteristica queda:
1 + B(s)·Tau = 0 ; con B(s) = -s·N/(N+D)

Que es lo mismo que puse antes...
 
#6
la forma mas facil es utlizando el matlab y utilizar la funcion "pade" la cual se define como un diagrama de bloques en serie con tu planta, voy a buscar un codigo en matalb con pade y te lo envío para que veas el lugar de las raíces y como te da una respuesta en frecuencia.
 
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