Porque esta función de transferencia en lazo cerrado es inestable?

[chipichape]

Hola. Estoy trabajando en Matlab, simulando un control Proporcional con la siguente funcion de transferencia para la planta:

Transfer function:
10 s^2 + 40 s + 40
------------------------
s^3 + 10 s^2 + 0.1 s + 1

La idea es realizar el lazo cerrado con la constante K del control proporcional y realimentacion unitaria negativa, para lo cual obtengo la siguiente funcion de transferencia en lazo cerrado:

2 3 2
(100 k (s + 2) ) / (10 s + (100 k + 100) s + (400 k + 1) s + 400 k + 10)

La cosa es que cuando le doy a k un valor negativo de -0.0012 obtengo la funcion de transferencia:

Transfer function:
-0.012 s^2 - 0.048 s - 0.048
---------------------------------
s^3 + 9.988 s^2 + 0.052 s + 0.952

Según el teorema del valor final:

lim┬(t→∞)⁡〖f(t)〗=lim┬(s→0)⁡〖sF(s)〗

esa funcion deberia tender a 0 en su estado estable. Sin embargo, cuando hago la respuesta al paso unitario (step) obtengo la grafica que adjunto aquí, la cual muestra una clara inestabilidad (tiende a infinito oscilatoriamente).

Que puedo estar interpretando mal aquí? Acaso tomar valores negativos de k siempre hace al sistema inestable? pero por que criterio se podria decir eso?
Ayuda para entender esto por favor.

 

[Eduardo]

....

La cosa es que cuando le doy a k un valor negativo de -0.0012 obtengo la funcion de transferencia:

Transfer function:
-0.012 s^2 - 0.048 s - 0.048
---------------------------------
s^3 + 9.988 s^2 + 0.052 s + 0.952

Revisalo porque el denominador a mi me da: s^3 + 9.988 s^2 - 479.9 s + 0.952

De todas formas, tanto con lo que te dió a vos como a mi, tiene 2 ceros en el semiplano de la derecha ==> Inestable, tal como te sale al simular.

Que puedo estar interpretando mal aquí? Acaso tomar valores negativos de k siempre hace al sistema inestable?

Eso es en una planta de 1er o 2do orden, pero esta es de 3r orden.

pero por que criterio se podria decir eso?

Por el criterio de Routh-Hurwitz. De ahi sacás los intervalos de ganancia donde el sistema es estable.

 

[palurdo]

Transfer function:
-0.012 s^2 - 0.048 s - 0.048
---------------------------------
s^3 + 9.988 s^2 + 0.052 s + 0.952

Según el teorema del valor final:

lim┬(t→∞)⁡〖f(t)〗=lim┬(s→0)⁡〖sF(s)〗

esa funcion deberia tender a 0 en su estado estable. Sin embargo, cuando hago la respuesta al paso unitario (step) obtengo la grafica que adjunto aquí, la cual muestra una clara inestabilidad (tiende a infinito oscilatoriamente).

Que puedo estar interpretando mal aquí?

El teorema del valor final implica que la función sea continua y derivable aunque sea a tramos. Dicho de otra manera, para que dicho teorema sea válido la función no puede tener discontinuidades asintóticas (polos). Tu función tiene 3 polos que son estos:

s~~-9.9923
s~~0.00217-0.30866 i
s~~0.00217+0.30866 i

Como ves tienes un par de polos conjugados cuya parte real por muy poco cae en el plano derecho. Esto hace que tengas una respuesta tipo A*e^(x*t)*cos(y*t) y como la x que es la parte real del Polo complejo es positiva, la exponencial va creciendo con el tiempo hacia el infinito de manera oscilante por la senoidal cuya frecuencia es la parte imaginaria del Polo.

 

[chipichape]

Y no me había dado cuenta......
que tenia polos con parte real positiva, eso lo explica todo.
muchas gracias.