Según los textos sabe haber diferencia en cuanto a la definición de la transformada de Fourier.
Algunos dividen la integral por 2pi, otros por √(2pi) y otros por 1.
También, en casos como el programa Mathematica, usan en la integral e^(jwt) en lugar de e^(-jwt).
Usando la definición más común de TF:
[LATEX]F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-j\omega t}dt[/LATEX]
Resulta para x(t)
x(t) = exp(-2t)u(t) ==> X(w) = 1/(2+jw) ; esta sale fácil
Pero vos debés saber que:
Fourier(f(t)+g(t)) = Fourier(f(t)) + Fourier(g(t))
y que
Fourier(f(t+a)) = e^(jwa) * Fourier(f(t))
Entonces:
Fourier(x(t+1)) = e^(jw)/(2+jw)
Fourier(x(t-1)) = e^(-jw)/(2+jw)
Y(w) = e^(jw)/(2+jw) + e^(-jw)/(2+jw) = 2 cos(w)/(2+jw)