Tenés varias formas de hacerlo, una es mediante la resolución de una matriz de 3x3 usando las ecuaciones de admitancia, esto implica agregar un tercer nodo V3 en el medio de las dos resistencias de 3 ohms.
i1= (V1-V3)/3Ohms + (V1-V2)/3Ohms (Ecuacion 1)
i2= (V2-V3)/3Ohms + (V2-V1)/3Ohms (Ecuacion 2)
i3= (V3-V1)/3Ohms + (V3-V2)/3Ohms (Ecuacion 3)
Donde i3=-(i1+i2).
La otra es dividir el circuito es dos cuadripolos tipo Y, esos cuadripolos estarán en paralelo:
Cuadripolo 1:
1O-----3Ohms----O2
3O-----------------O4
Cuadripolo 2:
1O-----3Ohms-----x-----3Ohms-----O2
3O-----------------x---------------O4
En la teoría de cuadripolos, la ecuación de la matriz Y es similar a lo que puse arriba, pero se reduce a una matriz de 2x2:
i1=y11*V1+y12*V2
i2=y21*V1+y22*V2
Donde los valores de la matriz se pueden obtener haciendo esto:
y11=i1/V1 (Cuando V2=0)
y12=i1/V2 (Cuando V1=0)
y21=i2/V1 (Cuando V2=0)
y22=i2/V2 (Cuando V1=0)
Por ej. en el cuadripolo 1, para averiguar su matriz Y se hace lo siguiente:
Y11 (V2=0 => es un corto):
.V1---->i1
1O-----3Ohms----|
3O-----------------|
Y11=i1/V1=1/3 siemens
Por simetría => Y22=i2/V2=1/3 siemens
Y12 (V1=0 => es un corto):
---->i1.............V2
|-----3Ohms----O2
|-----------------O4
Es importante recordar que en un cuadripolo, todas las corrientes son entrantes (por cenvención), por lo tanto:
Y12=i1/V2=-1/3 siemens (Corriente entrante al puerto 1, pero saliente al puerto 2!)
Por simetría => Y21=i2/V1=-1/3 siemens
El primer cuadripolo en matriz Y te queda:
1/3 -1/3
-1/3 1/3
En el segundo cuadripolo se opera de forma similar, es un despelote dibujartelo, así que te pongo el resultado directamente:
4/15 -1/15
-1/15 4/15
Como los dos cuadripolos están en paralelo, se puede reducir las dos matrices a una sola, sumandolas, quedando una única matriz Y de 2x2:
3/5 -2/5
-2/5 3/5
En función de esa matriz, se puede calcular V1 y V2:
i1=3/5*V1-2/5*V2
i2=-2/5*V1+3/5*V2
Donde i1=10A e i2=-4A. Con ese sistema de ecuación, efectivamente obtenés que V1=22v y V2=8v.
Edito:
De la primer forma, si usas:
i3=-(i1+i2) te va a pasar que dos ecuaciones son iguales, lo cual tiene sentido, ya que no estoy incluyendo la resistencia de 1ohm en el sistema.
Ese i3=-V3/1ohm (la corriente debe ser entrante al nodo), entonces las tres ecuaciones te quedan:
i1= (V1-V3)/3Ohms + (V1-V2)/3Ohms (Ecuacion 1)
i2= (V2-V3)/3Ohms + (V2-V1)/3Ohms (Ecuacion 2)
-V3/1ohm = (V3-V1)/3Ohms + (V3-V2)/3Ohms (Ecuacion 3)
Edito 2:
Acá te dejo un link que explica bien el tema sobre la forma de resolverlo usando el 2do método:
https://sites.google.com/a/goumh.um...ogicos/transparencias/tema-1#TOC-Par-metros-Y
