Acertijos de lógica y comprensión

[Eduardo]

Ayuda:

Caminos posibles para el gato:
1236 1256 1258 1254 1452 1456 1458 1478

Caminos posibles para el ratón:
9632 9652 9654 9658 9856 9852 9854 9874

Probabilidad de salvarse = Total de caminos en que no muere / Total de caminos posibles

Hay mas posibilidades.

- Como los dos avanzan 3 cuadras ==> siempre terminan en un casilla par (2,4,6 u 8)

- A cada una de esas casillas tienen 3 formas de llegar ==> Son 12 caminos posibles, salvo que ninguno pueda retroceder y en ese caso sí serían 8.

 

[chclau]

En el planteo decia que no pueden retroceder...
Muy buena la ayuda, hay 2 caminos con 6 posibilidades de salvarse, y 6 caminos mas con 2 posibilidades de salvarse para cada uno.

Siendo asi, la probabilidad de salvarse del raton es del 62.5%

 

[Nepper]

En el laberinto de la figura, un gato y un ratón entran por esquinas opuestas.
Avanzan 3 cuadras cada uno a igual velocidad. No pueden frenarse ni retroceder.
Si se encuentran en alguna esquina (numeradas del 1 al 9) el gato se come al ratón.
Si terminan en esquinas diferentes el ratón se salva.

Qué probabilidad tiene el ratón de salvarse ?

a eso llamas laberinto?

 

[DOSMETROS]

Ummmmmm , yo entendí que no retroceder , no era solo no volver sobre los pasos , sino geometricamente , para mi 1452 , por ejemplo , es retroceder , baja y luego vuelve a subir

 

[Eduardo]

Ummmmmm , yo entendí que no retroceder , no era solo no volver sobre los pasos , sino geometricamente , para mi 1452 , por ejemplo , es retroceder , baja y luego vuelve a subir

Si se lo considera así el ratón se salva siempre.

 

[asherar]

a eso llamas laberinto?

Dejame esa licencia poética, si ?

No pueden frenarse ni retroceder.

Retroceder sería un camino como este: 1454
En ese caso el camino de 5 a 4 es el mismo que el de 4 a 5, pero retrocediendo.

Un camino como 1452 no es retroceder, sino rodear la manzana.

Si se encuentran en la tercer esquina (p. ej. la 5) las ramificaciones que siguen
ya no tienen sentido. Ej. el caso G: 145X, R: 965X.

No siempre se salva: Ej. el caso G: 1452, R: 9632

 

[Eduardo]

Sin necesidad de ponerse de acuerdo sobre que se considera "retroceder" se lo puede analizar igual.


Como avanzan 3 cuadras siempre terminarán en vértice par.

De los N caminos posibles para el gato, habrá
n2 que terminen en '2'
n4 que terminen en '4'
n6 que terminen en '6'
n8 que terminen en '8'

siendo N=n2+n4+n6+n8

Pero por la simetría del "laberinto": n2=n4 y n6=n8

así que la probabilidad que el gato termine en el vértice '2' es n2/N
en '4' es n4/N ....

Para el ratón es lo mismo solamente que hay que cambiar n2 por n8 y n4 por n6.

Por lo tanto la probabilidad que se encuentren será la suma de las probabilidades que se encuentren en cada una de los vértices:

P = (n2/N)*(n8/N) + (n4/N)*(n6/N) + (n6/N)*(n4/N) + (n8/N)*(n2/N)
= 4*n2*n4/N^2 = n2*n4/(n2+n4)^2
​

Y la probabilidad de salvarse Psalvarse = 1-P


Entonces, todo se reduce a determinar cuantos caminos lo llevan al gato al vértice '2' y cuantos al '4'.

-----------------------------------

Con los caminos que señaló Alejandro resulta:

n2=1 = n4=3 ==> Psalvarse = 1 - 1*3/(1+3)^2 = 13/16 = 0.8125
​

Con la interpretación de 2M ya sabemos que se salva porque el gato termina siempre en 6 u 8 y el ratón en 2 o 4, pero la expresión sigue valiendo porque como el gato nunca termina en '2' es:

n2=0 ==> Psalvarse = 1 - 0 = 1 ; se salva siempre.
​

Aceptando la posibilidad de retroceder sobre sus pasos, resulta:

n2=3 , n4=3 ==> Psalvarse = 1 - 3*3/(3+3)^2 = 1/4 = 0.25
​

como cabía esperar, ya que todos los vértices tienen la misma probabilidad.

 

[asherar]

Yo dibujo la matriz de vida-muerte, y cuento los casos, excluyendo los encuentros en la 3er esquina,
que en la figura englobé en rojo.
De esa forma me dan 10 casos en que el ratón muere y 22 en que vive.
El total es 32, y la probabilidad de salvarse me da 22/(10+22) = 68.75 %

La teoría de juegos dice que la prob. es de 50%.

Este es un buen ejemplo de matemática abstracta (combinatoria) que sirve para salvarle la
vida a los ratones, ... o no.

 

[chclau]

Estoy de acuerdo con tu matriz pero para mi hiciste dos errores:

1) Total de casos en que el raton se salva:24
2) Total de casos posibles: 64

 

[asherar]

Estoy de acuerdo con tu matriz pero para mi hiciste dos errores:

1) Total de casos en que el raton se salva:24
2) Total de casos posibles: 64

El total de casos posibles se presta a discusión, ya que los casos
G:1452-R:9752 y G:1456-R:9752
terminan en la esquina 5 por lo que si el gato luego elige seguir hasta la esq. 2 o la 6 no cambia la situación. Entonces todos los casos que empiezan igual y terminan en la 3er esquina deberían contarse una sola vez.
Por eso yo cuento los "globos" de la figura, como un caso.
De todos modos, 24/64 tampoco da 1/2
En algún lado está la falla.

Vean la matriz de "esquina final" (esquina donde muere el ratón), y su versión reducida.
En cada caso si el gato atrapa al ratón pongo el número de la esquina, y si se salva pongo un guión.

 

[Cacho]

Están analizando los casos en los que el ratón y el gato terminan en la misma posición, pero faltan los casos en los que los caminos se cruzan (en el mismo momento, claro). Ahí también pierde el ratón.

Caminos posibles para el gato:
1236 1256 1258 1254 1452 1456 1458 1478

Caminos posibles para el ratón:
9632 9652 9654 9658 9856 9852 9854 9874

En todos los que están en rojo, pierde el ratón (se cruzan en 5).
En el verde, pierde también (se cruzan en 3).
En el azul pierde en 7.

Saludos

Edit: Acá arriba Ale decía algo muy similar a lo que yo dije después . Debo leer con más atención.

 

[asherar]

Bueno, el tema es que si uno lo analiza "así nomás", da lo que vimos antes.
La teoría de juegos analiza la forma de optimizar las jugadas, de manera que cada jugador
mueva lo que más le conviene. Dentro de ese punto de vista, hay trayectorias que se
llaman "dominantes" porque le ganan a mayor cantidad de jugadas del adversario.
En el caso del gato y el ratón hay dos estrategias del gato que son dominantes: 1254 y 1452
Para estas trayectorias hay 7 casos en que atrapa al ratón y una en que se le escapa.
Luego la matriz de vida o muerte (que en Teoria de Juegos se llama matriz de pago)
se reduce a 2x8=16 casos. De estos todos los casos en que el ratón muere son equivalentes
a los fines del análisis de estrategia-resultado, por lo que se eliminan también.
Finalmente solo quedan las posibilidades:

. . . . . . . . 1452 . . . . 1254 . .
9632 . . . . . 0 . . . . . . . 1 . . .
9874 . . . . . 1 . . . . . . . 0 . . .

Este análisis determina que al ratón le conviene hacer movidas más rectas, mientras al gato
movidas más retorcidas.

O sea que en los casos en que cada uno hace la jugada óptima las probabilidades de ganar
son 50-50.


---------------------

La teoría de juegos se usa en diplomacia, en la guerra, en economía y negocios, y hasta en filosofía.
Uno de los que aportó nuevas ideas recientemente fue John Nash
(el de la película "una mente brillante") .

Es algo interesante a considerar antes de firmar un contrato.

 

[asherar]

Siguiendo con las probabilidades.

Cuando uno elige una contraseña se le suele sugerir no usar determinadas combinaciones por
resultar fáciles de descifrar, como números consecutivos como 123456, o repetidos como 111111,
o fechas de cumpleaños de parientes cercanos, etc.

Para las contraseñas 174206 y 111111 la probabilidades de ser adivinadas es la misma (1/1000000)
y por lo tanto en ese aspecto son equivalentes. Sin embargo, uno intuye sería más fácil descifrar
la segunda.
El motivo objetivo es la mayor inmediatez: si alguien va a "probar" contraseñas sistemáticamente,
es más bien raro comienzar por un número mezclado. Esto hace que sea menos probable que sea descifrada primero.

Pero: ¿ Cuál es el nombre de la propiedad que establece esa diferencia ?

 

[DJ DRACO]

En realidad están todos sacando cálculos innecesariamente.

La probabilidad en este caso no depende de las casillas sino de cuantos animales hay.

Cómo sólo hay 1 gato y 1 ratón, las probabilidades de sobrevivir son exactamente del 50%

Ahora si a esto le agregamos otro gato más que a su vez NO recorre el mismo camino que el primer gato, el ratón ya tiene sólo un 25% de sobrevivir.

 

[asherar]

auto correlacion

Jeje. Está buena, es cierto, podría ser.
Pero me refería a otra propiedad con nombre más conocido.
No doy más datos porque la descubren.

PD: Si fueran caracteres no se podría calcular la autocorrelación, pero la otra propiedad sí.

En realidad están todos sacando cálculos innecesariamente.

La probabilidad en este caso no depende de las casillas sino de cuantos animales hay.

Cómo sólo hay 1 gato y 1 ratón, las probabilidades de sobrevivir son exactamente del 50%

Ahora si a esto le agregamos otro gato más que a su vez NO recorre el mismo camino que el primer gato, el ratón ya tiene sólo un 25% de sobrevivir.

No estoy tan de acuerdo con que dependa solo de la cantidad de gatos.
Depende de todas las reglas del juego.
Por ejemplo, si el terreno está inclinado 45º y el piso tiene aceite, el ratón tiene ventaja
porque es más liviano y puede colgarse casi sin esfuerzo. Los gatos no.
Por lo tanto, aunque haya 20 gatos no lo agarran nunca.

Aparte ya vimos que la probabilidad que se calcula supone animales "inteligentes", ya que
contamos solamente los casos más favorables para cada uno.
No se trata de que sean animales, es un ejemplo simplificado para extraer un criterio general.

 

[chclau]

No entiendo por que con caracteres no se puede calcular la autocorrelacion, los caracteres tienen codigo ASCII y se puede calcular la correlacion sobre ellos sin ningun problema.

 

[asherar]

No entiendo por que con caracteres no se puede calcular la autocorrelacion, los caracteres tienen codigo ASCII y se puede calcular la correlacion sobre ellos sin ningun problema.

Tal vez me expresé mal. La propiedad a que me refiero no depende de que sean números o letras, u otros símbolos.

 

[asherar]

Siguiendo con las probabilidades.

Cuando uno elige una contraseña se le suele sugerir no usar determinadas combinaciones por
resultar fáciles de descifrar, como números consecutivos como 123456, o repetidos como 111111,
o fechas de cumpleaños de parientes cercanos, etc.

Para las contraseñas 174206 y 111111 la probabilidades de ser adivinadas es la misma (1/1000000)
y por lo tanto en ese aspecto son equivalentes. Sin embargo, uno intuye sería más fácil descifrar
la segunda.
El motivo objetivo es la mayor inmediatez: si alguien va a "probar" contraseñas sistemáticamente,
es más bien raro comienzar por un número mezclado. Esto hace que sea menos probable que sea descifrada primero.

Pero: ¿ Cuál es el nombre de la propiedad que establece esa diferencia ?

Es la entropía, que se calcula a partir de la teoría de la información. Ver enlace @ Wiki
(Esto viene a cuento para mostrar que ya hay teoría para casi todo).

 

[Tavo]

Buenas gente.

No se si lo habían publicado antes o no, la cuestión es que me tiene algo confundido esta imagen.



El problema es ¿Cuántos cuadrados hay?

Saludos!

 

[Fogonazo]

3³................