voltajes red escalera infinita

#1
Hola a todos

Antes que nada agradescol la molestia de leer este post e intentarme ayudar, he tratado de solucionar l problema que teno pero aun no doy con la respuesta....espero me pueda ayudar.

en los archivos adjutos, envio una foto del problema que teng oque resolver, investigando por ahi averigue que se realiza por medio de ecuaciones de diferencias, pero aun no se como hacerlo, agradesco toas las ideas que puedan aportarme y mas aun agradeceria una explicacion de como hacerlo.

tengo la respuesta de la ecuacion, pero lo que necesito es como se llego a ella.

la respuesta es la siguiente: Vk = 10(.3819)^k

osea .3819 elevado a la potencia k y multiplacod por 10.

nuevamente gracias por toda su ayuda.
 

Adjuntos

#2
Ese es un problema clasico. Generalmente te piden solamente la primer parte que consiste en calcular la resistencia equivalente de la escalera infinita.
Aca te piden calcular los voltajes... claro que para eso tenes que calcular antes la resistencia.



escalera.jpg
Si Rinf es el valor de la resistencia de la escalera infinita (vista desde la fuente de tension), si agregas una etapa mas la resistencia vista debe sera la misma. Para ser riguroso en afirmar eso habria que mostrar que la sucesion converge a un valor finito, pero no se demuestra en dos lineas ni te piden tanto rigor.
Entonces, la resistencia vista al agregar otra etapa sera:
Rvista = R + R//Rinf

Pero como Rvista debe ser igual a Rinf --> Rinf = R + R//Rinf

Resolver esa expresion (trabajo tuyo) te lleva a una ecuacion de 2do grado cuya solucion es:

Rinf = R*(1+raiz(5))/2 = R*1.618..

A modo de comentario, el termino (1+raiz(5))/2 = 1.618.. se conoce como "numero fi" , "seccion aurea" o "divina proporcion".



Para calcular el voltaje de una etapa a la siguiente, tenes que fijarte que conocido un voltaje, el siguiente sera el correspondiente al divisor resistivo:
Vk.jpg
Vk+1 = Vk * (R//Rinf)/(R + R//Rinf ) = Vk * (1 - R/Rinf)

--> Entonces, el voltaje despues de pasar N etapas sera:
Vn = V0 * (1 - R/Rinf)^n

Donde 1 - R/Rinf = 1 - 2/(1+raiz(5)) = (raiz(5)-1)/(raiz(5)+1) = 0.381966..
y V0 = 10V




PD. Si queres romperte otro poco la cabeza, hay otra version del problema donde la escalera es finita (con R iguales) donde se pide demostrar que los voltajes y las corrientes se corresponden con la sucesion de Fibonacci :)
 
#3
Pues muchisisimas gracias Eduardo, me has sacado de un apuro tremendo, y nuevamente gracias no solo por una excelente explicacion si no que ademas contestaste rapido....la vdd en lo que a mi respecta mereces una ovacion.
 
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