fernando, es solo un entretenimiento
Lo que pasa que a veces uno sin darse cuenta se pasa de largo, y sigue trabajando mientras se divierte.
Algo parecido a tu vocación frustrada (toco-ginecología), pero al revés ...
Dicho esto, ahora vamos a intentar atacar el problema que planteó Eduardo:
Premisas:
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1.- X debe ser la raíz de un polinomio, por lo tanto:
a_N X^N + a_(N-1) X^(N-1) + a_(N-2) X^(N-2) + ... + a_2 X^2 + a_1 X + a_0 = 0
o en forma abreviada:
Suma[a_n X^n] = 0, n=0,1,2,...N
2.- X es el coseno de un ángulo:
X = cos(Y)
Lo que se debe demostrar es que Y = 3º k/2^n, con k y n enteros.
Además X está formada por expresiones que incluyen cocientes de enteros y raíces,
del tipo:
X = p^(1/m)/q^(1/n), m,n,p,q enteros
Razonamiento:
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Reemplazando X en el polinomio inicial se obtiene:
Suma{n=0,1,2,...N, a_n [cos(Y)]^n} = 0
Como el coseno es una función par del ángulo: cos(Y) = cos(-Y), si escribimos el cos(Y)
en serie de Taylor en torno a Y=0, obtenemos un desarrollo donde aparecerán sólo las
potencias pares del ángulo Y:
cos(Y) = Suma(m=0,1,2, ... infinito, b_m Y^2m)
y donde:
b_m = (-1)^m/2m!
reemplazando esta expresión de cos(Y) en el polinomio se obtiene:
Suma{ n=0,1,2,...N, a_n [Suma(m=0,1,2, ... infinito, b_m Y^2m)]^n } = 0
De aquí en más se debe trabajar sobre esta expresión, que es una suma infinita elevada a la n-ésima potencia y sumada N veces !!! (ver
acá), para llegar a algo del tipo:
Suma{k=0,1,2, ... infinito, C_k Z^2k} = 0
con C_k = (-1)^k/2k!
que no es otra cosa que cos(Z)=0. De esta igualdad sale la condición para los ángulos, y
de las relaciones necesarias para los coeficientes C_K, surge la condición sobre los
coeficientes a_n del polinomio inicial.
(sigue ... otro día que ande con más tiempo ...
)
